Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，且a₂=6．
（1）設(shè)，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)，c為非零常數(shù)，若數(shù)列{u_n}是等差數(shù)列，記，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，可將化成，然后利用疊加法可求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列是關(guān)于n的一次函數(shù)，而c為非零常數(shù)，可求出c的值，從而求出{c_n}的通項，最后利用錯位相消法可求出S_n．
解答：解：（1）∵，
∴（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-（n+1）
當n≥2時，
而
∴b_n+1-b_n=-（n≥2）
∵a₂=6∴b₂===3
∵b₃-b₂=-1
b₄-b₃=-
…
b_n-b_n-1=（n≥3）
將這些式子相加得b_n-b₂=
∴b_n=（n≥3）
b₂=3也滿足上式，b₁=3不滿上式
∴
（2），令n=1得a₁=1
∵
∴a_n=2n²-n（n≥2）
而a₁=1也滿足上式
∴a_n=2n²-n
∵，數(shù)列{u_n}是等差數(shù)列
∴是關(guān)于n的一次函數(shù)，而c為非零常數(shù)
∴c=-，u_n=2n
∴=，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=2×+4×+…+2n×
S_n=2×+4×+…+2n×
兩式作差得S_n=2×+2×+…+2×-2×
∴
點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的遞推關(guān)系和數(shù)列的求和，同時考查了運算求解的能力，是一道綜合題．