Question

18．已知∠BAC＞90°，∠ACB=30°，AB=DB=DC，求∠CAD的度數(shù)．

Answer 1

分析 作△ABC關(guān)于直線AC的對稱圖象△AEC，D關(guān)于直線AC的對稱點F，連接BE，DF，可得△ABE≌△FCE≌△DCB，進而△DBA≌△DCF≌△AEF，則AD=DF=AF，故∠DAF=60°，進而得到答案．

解答 解：作△ABC關(guān)于直線AC的對稱圖象△AEC，D關(guān)于直線AC的對稱點F，
連接BE，DF，如下圖所示：
則AB=DB=DC=AE=EF=CF，∠ECB=60°，BC=CE，
即△BCE為等邊三角形，
故△ABE≌△FCE≌△DCB，
則∠ABC=∠AEB=∠FEC=∠FCE=∠DBC=∠DCB，
∴∠DBA=∠DCF=∠AEF，
∴△DBA≌△DCF≌△AEF，
∴AD=DF=AF，
∴△ADF為等邊三角形，
∴∠DAF=60°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠DAF=30°，

點評 本題考查的知識點是全等三角形的判斷與性質(zhì)，等邊三角形的判斷與性質(zhì)，軸對稱圖象，輔助線作法復(fù)雜，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．