Question

已知函數(shù)f(x)＝－a²x²＋ax＋lnx(a∈R)．

(Ⅰ)我們稱使f(x)＝0成立的x為函數(shù)的零點(diǎn)．證明：當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)當(dāng)a＝1時(shí)，，其定義域?yàn)?0，＋∞)，

　　，令，

　　解得或，又∵x＞0，故x＝1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，；

　　當(dāng)x＞1時(shí)，，∴函數(shù)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝1時(shí)，

　　函數(shù)取得最大值，即，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；(5分)

　　(Ⅱ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2688/0018/51228f02d49dc21453ecacb32ab7608e/C/Image85.gif" width=162 height=24>，其定義域?yàn)?0，＋∞)，

　　所以，

　　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，，

　　所以在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，不合題意．(7分)

　　(2)當(dāng)a＞0時(shí)，等價(jià)于，

　　即x＞，此時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為(，＋∞)，依題意，

　　得，解之得．(9分)

　　(3)當(dāng)a＜0時(shí)，等價(jià)于，

　　即0＜x＜，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為(0，)，不合題意．

　　綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．(12分)