Question

7．已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，焦距為$2\sqrt{13}$，另一雙曲線與橢圓有公共焦點，且橢圓半長軸比雙曲線的半實軸大4，橢圓離心率與雙曲線的離心率之比為3：7，求橢圓方程和雙曲線方程．

Answer 1

分析 分類討論，利用條件，建立方程組，即可求橢圓方程和雙曲線方程．

解答 解：設焦點在x軸上的橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，雙曲線方程為$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{13}}\\{a-m=3}\\{\frac{c}{a}：\frac{c}{m}=3：7}\end{array}\right.$，∴$c=\sqrt{13}$，a=7，m=3，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{36}=1，雙曲線方程為\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，
若焦點在y軸上，同樣可得方程為$\frac{y^2}{49}+\frac{x^2}{36}=1$，$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$．

點評 本題考查求橢圓方程和雙曲線方程，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．