Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過(guò)三角關(guān)系式的恒等變換變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
（2）利用函數(shù)的定義域進(jìn)一步確定函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）．
則：T=π
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）
（2）由于-

π

3

≤x≤

π

3

 
所以 -

π

3

≤2x+

π

3

≤π
-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1
所以當(dāng)x=kπ-

π

3

時(shí)，函數(shù)的最小值為：f（x）_min=-

3

當(dāng)x=kπ+

π

12

時(shí)，函數(shù)的最大值為：f（x）_max=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間和最值的求法．