Question

已知向量

OB

=(2，0)，

OC

=(2，2)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），

CA

=(

2

cosα，

2

sinα)，則向量

OA

與

OB

的夾角范圍為

 

．

Answer 1

分析：由|

CA

|=

2

，故點(diǎn)A在以點(diǎn)C（2，2）為圓心，以

2

為半徑的圓上，如圖，故向量

OA

與

OB

的夾角最小為∠MOB，最大為∠NOB，從而得到向量

OA

與

OB

的夾角范圍．

解答：解：由|

CA

|=

2

，故點(diǎn)A在以點(diǎn)C（2，2）為圓心，以

2

為半徑的圓上，如圖：
過(guò)原點(diǎn)O，作圓的兩條切線(xiàn)OM、ON，則∠COM=

π

6

，又∠COB=

π

4

，∴∠MOB=

π

4

-

π

6

=

π

12

，
∠NOB=

π

4

+

π

6

=

5π

12

． 故向量

OA

與

OB

的夾角最小為∠MOB，最大為∠NOB．
故向量

OA

與

OB

的夾角范圍為 [

π

12

，

5

12

π]，故答案為 [

π

12

，

5

12

π]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模的定義，向量的模的幾何意義，求向量的模的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，判斷
向量

OA

與

OB

的夾角最小為∠MOB，最大為∠NOB，是解題的關(guān)鍵．