Question

在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是 a，b，c，且滿足

3

a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大�。�           
（Ⅱ）若b=

7

，a=3，求c的值；
（Ⅲ）若b=

7

，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：計(jì)算題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理可求得sinB=

3

2

，在銳角△ABC中，可得角B的值；
（Ⅱ）依題意，利用余弦定理可求得c=2或c=1，經(jīng)分析可舍去后者，從而可得c的值；
（Ⅲ）由S=

1

2

acsinB=

3

4

ac，及a²+c²-ac=7，利用基本不等式即可求得△ABC的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵在銳角△ABC中，

3

a-2bsinA=0，
∴

3

sinA-2sinBsinA=0，
∵sinA＞0，
∴sinB=

3

2

，又B為銳角，則B=

π

3

；
（Ⅱ）由（1）可知，B=

π

3

，
∵b=

7

，根據(jù)余弦定理，得 7=a²+c²-2accos

π

3

，
整理，得（a+c）²-3ac=7
∵a=3，
∴c²-3c+2=0，
∴c=2或c=1，
當(dāng)c=1時(shí)，（1²+(

7

)2=8＜3²，A為鈍角，與已知△ABC為銳角三角形矛盾，故舍去，
∴c=2；
（Ⅲ）S=

1

2

acsinB=

3

4

ac，又a²+c²-ac=7，a²+c²=ac+7≥2ac，
∴ac≤7，
∴S≤

7 3

4

，即△ABC的面積的最大值為

7 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理與余弦定理，考查函數(shù)與方程思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算與求解能力，屬于中檔題．