Question

【題目】已知是軸上的動(dòng)點(diǎn)（異于原點(diǎn)），點(diǎn)在圓上，且.設(shè)線段的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）當(dāng)直線與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限.

（ⅰ）求直線的斜率；

（ⅱ）直線平行，交曲線于不同的兩點(diǎn)、.線段的中點(diǎn)為，直線與曲線交于兩點(diǎn)、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.

【解析】

（1）連接，設(shè)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，化簡后可得出曲線的方程；

（2）（i）由題意可得出，再由可判斷出為等腰直角三角形，可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求出直線的斜率；

（ii）設(shè)，，直線，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，由此可求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，再利用弦長公式化簡可證得結(jié)論成立.

（1）連接，設(shè)，由，可得，

由為的中點(diǎn)，則，，，

，則，

把代入，整理得，

所以曲線的方程為；

（2）（ⅰ）當(dāng)直線與圓相切于點(diǎn)，則，

，則，所以，是等腰直角三角形，且，

又點(diǎn)在第一象限，得，.

由為的中點(diǎn)，得，所以直線的斜率為；

（ⅱ）設(shè)，，直線，

由，整理得，

由韋達(dá)定理得，.

所以點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線方程為.

由方程組，得，，

所以.

又，

所以.