△ABC中，∠A=
π
4
且有bsin（C+
π
4
）-c•sin（B+
π
4
）=a
（1）求證：B-C=
π
2
；
（2）若a=
2
，求△ABC的面積．
考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)
專(zhuān)題：解三角形
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換，化簡(jiǎn)所給的等式可得sin（B-C）=1，再根據(jù)-
3π
4
＜B-C＜
3π
4
，可得 B-C=
π
2
．
（2）由 B-C=
π
2
，B+C=π-A=
3π
4
，求得B和C的值，再利用正弦定理求得b，可得△ABC的面積
1
2
ab•sinC 的值．
解答： 解：（1）證明：△ABC中，∵∠A=
π
4
且有bsin（C+
π
4
）-c•sin（B+
π
4
）=a，
∴sinBsin（C+
π
4
）-sinCsin（B+
π
4
）=sinA=
2
2
，化簡(jiǎn)可得 sinBcosC-sinCcosB=1，即sin（B-C）=1．
再根據(jù)-
3π
4
＜B-C＜
3π
4
，可得 B-C=
π
2
．
（2）由 B-C=
π
2
，B+C=π-A=
3π
4
，可得 B=
5π
8
，C=
π
8
．
又sin
π
8
=
1-cos
π
4
2
=
2-
2
2
，cos
π
8
=
1+cos
π
4
2
=
2+
2
2
，
∴sin
5π
8
=sin（
π
2
+
π
8
）=cos
π
8
=
2+
2
2
．
再由正弦定理可得
a
sinA
=
b
sinB
，即
2
2
2
=
b
2+
2
2
，求得 b=
2+
2
，
∴△ABC的面積為
1
2
ab•sinC=
1
2
•
2
•
2+
2
•
2-
2
2
=
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦定理的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于比較基礎(chǔ)題．
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1
3
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3
4
，
1
4
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3
-1海里B處有一艘可疑越境船只，在A處北偏西75°方向，距A為2海里的C處另一艘海監(jiān)船乙奉命以10
3
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