Question

2．一條隧道橫截面由一段拋物線及矩形的三邊圍成，各段長(zhǎng)度見(jiàn)圖中所示（單位：米），某卡車空載時(shí)可通過(guò)此隧道．
（1）現(xiàn)有一集裝箱，箱寬3米，裝上卡車后箱頂高4.5米，問(wèn)此車能否通過(guò)這條隧道？
（2）若卡車載貨板離地面1，4米，為安全起見(jiàn)，裝箱頂與隧道頂部距離不少于0.1米，在可以通過(guò)隨道的情況下，長(zhǎng)、寬各為多少米的集裝箱截面積最大？

Answer 1

分析 （1）先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，因?yàn)檐噺闹虚g過(guò)，即x=1.5，代入解析式求出y值后，比較即可；
（2）設(shè)剛好通過(guò)隨道的情況下，長(zhǎng)為m、寬為n的集裝箱截面積最大．令y=-0.1，代入拋物線方程，解方程可得所求長(zhǎng)與寬．

解答 解：（1）以隧道橫斷面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，
以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax²+bx+c，
因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，
所以拋物線過(guò)點(diǎn)（0，0），代入得c=0；
隧道寬6m，高5m，矩形的高為2m，
所以拋物線過(guò)點(diǎn)（-3，-3）和（3，-3），
代入得-3=9a-3b和-3=9a+3b，
解得a=-$\frac{1}{3}$，b=0．
所以y=-$\frac{1}{3}$x²．
如果此車能通過(guò)隧道，集裝箱處于對(duì)稱位置，
將x=1.5代入拋物線方程，得y=-0.75，
此時(shí)集裝箱角離隧道的底為5-0.75=4.25米，不及車與箱總高4.5米，
即4.25＜4.5．從而此車不能通過(guò)此隧道；
（2）設(shè)剛好通過(guò)隨道的情況下，長(zhǎng)為m、寬為n的集裝箱截面積最大．
令y=-0.1，代入拋物線方程可得x²=0.3，
解得x=$\sqrt{0.3}$
可得當(dāng)長(zhǎng)為5-0.1-1.4=3.5m，寬為2$\sqrt{0.3}$≈1.1m集裝箱截面積最大．

點(diǎn)評(píng) 本題要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，考查了利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，考查了拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．