【題目】某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面積的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).
(Ⅰ)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.

【答案】解:(Ⅰ)∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為200πrh元, 底面積成本為160πr2元,
∴蓄水池的總建造成本為200πrh+160πr2
即200πrh+160πr2=12000π
∴h= (300﹣4r2
∴V(r)=πr2h=πr2 (300﹣4r2)= (300r﹣4r3
又由r>0,h>0可得0<r<5
故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)椋?,5
(Ⅱ)由(Ⅰ)中V(r)= (300r﹣4r3),(0<r<5
可得V′(r)= (300﹣12r2),(0<r<5
∵令V′(r)= (300﹣12r2)=0,則r=5
∴當(dāng)r∈(0,5)時(shí),V′(r)>0,函數(shù)V(r)為增函數(shù)
當(dāng)r∈(5,5 )時(shí),V′(r)<0,函數(shù)V(r)為減函數(shù)
且當(dāng)r=5,h=8時(shí)該蓄水池的體積最大
【解析】(I)由已知中側(cè)面積和底面積的單位建造成本,結(jié)合圓柱體的側(cè)面積及底面積公式,根據(jù)該蓄水池的總建造成本為12000π元,構(gòu)造方程整理后,可將V表示成r的函數(shù),進(jìn)而根據(jù)實(shí)際中半徑與高為正數(shù),得到函數(shù)的定義域;(Ⅱ)根據(jù)(I)中函數(shù)的定義值及解析式,利用導(dǎo)數(shù)法,可確定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性,可得函數(shù)的最大值點(diǎn).

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②數(shù)列{an}滿足首項(xiàng)a1=2,ak+12﹣ak2=2,k∈N* , 當(dāng)n∈M且n最大時(shí),數(shù)列{an}有2048個(gè).
③數(shù)列{an}(n=1,2,3,…,8)滿足a1=5,a8=7,|ak+1﹣ak|=2,k∈N* , 如果數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)都是集合M的元素,則符合這些條件的不同數(shù)列{an}一共有33個(gè).
④已知直線amx+any+ak=0,其中am , an , ak∈M,而且am<an<ak , 則一共可以得到不同的直線196條.

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