Question

【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具，即文房四寶.筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時期，其中“紙”指的是宣紙，“始于唐代，產于涇縣”，因唐代涇縣隸屬宣州管轄，故因地得名宣紙，宣紙按質量等級分類可分為正牌和副牌（優(yōu)等品和合格品）某公司生產的宣紙為純手工制作，年產宣紙10000刀，該公司按照某種質量指標x給宣紙確定質量等級，如下表所示：

x的范圍
質量等級	正牌	副牌	廢品

公司在所生產的宣紙中隨機抽取了一刀（100張）進行檢驗，得到的頻率分布直方圖如上圖所示.已知每張正牌宣紙的利潤為12元，副牌宣紙的利潤為6元，廢品宣紙的利潤為-12元.

（1）試估計該公司生產宣紙的利潤；

（2）該公司預備購買一種售價為100萬元的機器改進生產工藝，這種機器使用壽命為一年，不影響產量，這種機器生產的宣紙的質量指標x服從正態(tài)分布，改進工藝后正牌和副牌宣紙的利潤都將受到不同程度的影響，觀測的數據如下表所示：

x的范圍
一張宣紙的利潤	12	8	8	3
頻率	0.5	0.5	0.5	0.5

將頻率視為概率，請判斷該公司是否應該購買這種機器，并說明理由.

附：若，則，，.

Answer 1

【答案】（1）480萬元；（2）應該，理由見解析

【解析】

（1）設一張紙的利潤為X，由頻率分布直方圖，用頻率估計概率得X的分布列，根據求得數據的期望，即可估計該公司生產宣紙的利潤；

（2）服從正態(tài)分布，求得、、，設改進生產工藝后一張宣紙的利潤為，的取值為12，8，3，，即可求得的分布列為，根據期望公式，即可求得答案.

（1）設一張紙的利潤為X，由頻率分布直方圖，用頻率估計概率得X的分布列為：

X	12	6
P	0.4	0.4	0.2

（元）

（元）

估計該公司生產宣紙的利潤為480萬元.

（2）服從正態(tài)分布，

，

，

.

設改進生產工藝后一張宣紙的利潤為，則的取值為12，8，3，

，

，

，

，

的分布列為

Y	12	8	3
P	0.3413	0.4987	0.1574	0.0026

（元）

改進生產工藝后，該公司生產宣紙的利潤為：（萬元）

，

該公司應該購買這種機器.