Question

6．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$，g（x）=a-2x
（1）若a=4，判斷函數(shù)y=f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性，并證明你得結論；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)y=f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上單調(diào)遞增，運用導數(shù)判斷符號即可得到結論；
（2）討論x=1時，顯然成立；當x＞1時，可得a≤$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$，求得右邊函數(shù)的最小值，運用基本不等式即可得到．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
理由：f（x）的導數(shù)為f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-2）（x+2）}{{x}^{2}}$，
由x≥2，可得f′（x）≥0，即有y=f（x）在[2，+∞）上遞增；
（2）不等式f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，
當x=1時，f（1）=1+a，g（1）=a-2，f（1）＞g（1）顯然成立；
當x＞1時，可得a≤$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$，
由$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$=3[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2]≥3[2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2]=12，
當且僅當x=2時，取得最小值12，
即有a≤12．
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，12]．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和基本不等式求最值，考查運算能力，屬于中檔題．