Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程組有2個(gè)不同解，轉(zhuǎn)化為判別式大于0．
（2）利用2個(gè)向量共線時(shí)，坐標(biāo)之間的關(guān)系，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求兩根之和，解方程求常數(shù)k．
解答：解：（Ⅰ）由已知條件，直線l的方程為，
代入橢圓方程得．
整理得①
直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于，
解得或．即k的取值范圍為．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
由方程①，． ②
又． ③
而．
所以與共線等價(jià)于，
將②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，
故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k．
點(diǎn)評(píng)：（1）把直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程組有2個(gè)不同解．
（2）考查2個(gè)向量共線的條件．