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對于定義域為D的函數，若同時滿足下列條件：①在D內單調遞增或單調遞減；②存在區(qū)間[]，使在[]上的值域為[]；那么把（）叫閉函數。

（Ⅰ）求閉函數符合條件②的區(qū)間[]；

（Ⅱ）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

（Ⅲ）若是閉函數，求實數的取值范圍。

解：（Ⅰ）由題意，在[]上遞減，

         則     

      解得…………3分

所以，所求的區(qū)間為[-1，1]         ………………………4分

（Ⅱ）

解：取則，

即不是上的減函數�！�6分

     取

     ，  

即不是上的增函數          …………8分

所以，函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。                                                                                                                  ---------9分

（Ⅲ）解：若是閉函數，則存在區(qū)間[]，

在區(qū)間[]上，函數的值域為[]，

即，為方程

的兩個實數根，…………10分

即方程有兩個不等的實根。

當時，有，

     解得                  …………12分

當時，有，無解          ……13分

    綜上所述，                 -----------14分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數為例）

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列三個函數：
①f(x)=(
12
)x；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
則存在“等值區(qū)間”的函數的個數是
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數．
（1）求閉函數y=-x3符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否為閉函數？并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•崇明縣一模）定義：對于定義域為D的函數f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，稱函數f（x）在D上是“T”函數．已知下列函數：
①f（x）=
1x
；　
②f（x）=log2（x2+2）；
③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中屬于“T”函數的序號是
③
③
．（寫出所有滿足要求的函數的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內有單調性；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱f（x）為D上的“和諧”函數，[a，b]為函數f（x）的“和諧”區(qū)間．
（Ⅰ）求“和諧”函數y=x3符合條件的“和諧”區(qū)間；
（Ⅱ）判斷函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否為“和諧”函數？并說明理由．
（Ⅲ）若函數g(x)=
x+4
+m是“和諧”函數，求實數m的取值范圍．

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