Question

【題目】2016年雙十一期間，某電子產品銷售商促銷某種電子產品，該產品的成本為2元/件，通過市場分析，雙十一期間該電子產品銷售量y（單位：千件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足關系式：y= +2x2﹣35x+170（其中2＜x＜8，a為常數），且已知當銷售價格為3元/件時，該電子產品銷售量為89千件． （Ⅰ）求實數a的值及雙十一期間銷售該電子產品獲得的總利潤L（x）；
（Ⅱ）銷售價格x為多少時，所獲得的總利潤L（x）最大？并求出總利潤L（x）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為x=3時，y=89，y= +2x2﹣35x+170（其中2＜x＜8，a為常數），所以a+83=89，故a=6； ∴該商品每日的銷售量y= +2x2﹣35x+170，
∴商場每日銷售該商品所獲得的利潤為L（x）=（x﹣2）（ +2x2﹣35x+170）
（Ⅱ）L（x）=6+（x﹣2）（2x2﹣35x+170），2＜x＜8．
從而，L′（x）=6（x﹣5）（x﹣8），
于是，當x變化時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（2，5）	5	（5，8）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	單調遞增	極大值141	單調遞減

由上表可得，x=5是函數f（x）在區(qū)間（2，8）內的極大值點，也是最大值點．
所以，當x=5時，函數f（x）取得最大值，且最大值等于141．
答：當銷售價格為5元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大
【解析】（Ⅰ）由x=3時，y=89，代入函數的解析式，解關于a的方程，可得a值；商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數為關于x的三次多項式函數；（Ⅱ）用求導數的方法討論函數的單調性，得出函數的極大值點，從而得出最大值對應的x值．