Question

已知函數(shù)．
（1）當時，判斷在的單調性，并用定義證明；
（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；
（3）討論零點的個數(shù)．

Answer 1

(1)單調遞減函數(shù)；(2)；(3)當或時，有1個零點.當或或時，有2個零點；當或時，有3個零點.

解析試題分析：(1)先根據(jù)條件化簡函數(shù)式，根據(jù)常見函數(shù)的單調性及單調性運算法則，作出單調性的判定，再用定義證明；(2)將題中所給不等式具體化，轉化為不等式恒成立問題，通過參變分離化為，求出的最大值，則的范圍就是大于的最大值；(3)將函數(shù)零點個數(shù)轉化為方程解的個數(shù)，再轉化為函數(shù)與交點個數(shù)，運用數(shù)形結合思想求解.
試題解析：（1）當，且時，是單調遞減的
證明：設，則




又，所以，
所以
所以，即
故當時，在上單調遞減
（2）由得
變形為，即
而
當即時
所以
（3）由可得，變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/92/0/zl1nl2.png" style="vertical-align:middle;" />
令
作的圖像及直線

由圖像可得：
當或時，有1個零點
當或或時，有2個零點
當或時，有3個零點．
考點：1.函數(shù)奇偶性的判定；2.不等式恒成立問題；3.函數(shù)零點；4.數(shù)形結合思想.