(14分)(理)在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC

⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。

(Ⅰ)證明:AC⊥SB;

(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小;

(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面CMN的距離.

 

【答案】

解法一:(Ⅰ)取AC中點(diǎn)D,連結(jié)SD、DB.

∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SD且AC⊥BD,∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,

∴AC⊥SB.

(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,∴平面SDB⊥平面ABC.過N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,過E作EF⊥CM于F,連結(jié)NF,則NF⊥CM.∴∠NFE為二面角

N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,

∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.

∵SN=NB,∴NE=SD===,

 

且ED=EB.在正△ABC中,由平幾知識可求得EF=MB=,在Rt△NEF中,tan∠

 

NFE==2,∴二面角N-CM-B的大小是arctan2

 

(Ⅲ)在Rt△NEF中,NF==,∴SCMN=CM·NF=,S

 

CMB=BM·CM=2

 

設(shè)點(diǎn)B到平面CMN的距離為h,∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴SCMN·h=SCMB·NE,

∴h==.即點(diǎn)B到平面CMN的距離為

 

解法二:(Ⅰ)取AC中點(diǎn)O,連結(jié)OS、O      B.

 

∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,).∴=(-4,0,0),=(0,2,2),

·=(-4,0,0)·(0,2,2)=0,∴AC⊥SB.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得=(3,,0),=(-1,0,).

設(shè)=(x,y,z)為平面CMN的一個法向量,則

 

取z=1,則x=,y=-,∴=(,-,1),

=(0,0,2)為平面ABC的一個法向量,

∴cos()==

 

∴二面角N-CM-B的大小為arccos

 

(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得=(-1,,0), =(,-,1)為平面CMN的一個法向量,∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d==

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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       A.線段                   B.圓

       C.一段圓弧            D.一段線段

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