Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，求函數(shù)的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，得，令，得遞增區(qū)間為；令，得遞減區(qū)間為；（Ⅱ）令，得，討論與區(qū)間的位置關(guān)系，當，或時，函數(shù)單調(diào)，利用單調(diào)性求最值；當，將定義域分段，分別判斷導(dǎo)函數(shù)符號，得單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的值圖像，從而求得最值.

試題解析：（Ⅰ）解：因為，，所以．

令，得．當變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．

所以當，即時，在上單調(diào)遞增，

故在上的最小值為；

當，即時，

在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增，

故在上的最小值為；

當，即時，在上單調(diào)遞減，

故在上的最小值為.

所以函數(shù)在上的最小值為

考點：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、導(dǎo)數(shù)在極值、最值上的應(yīng)用.