Question

（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù),函數(shù)g(x)=分別在x=m和x=n處取得極值，且

m<n

（1）求的值

（2）求證：f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù)

（3）設(shè)f(x)在區(qū)間[m,n]上的最大值和最小值分別為M和N,試問當實數(shù)a為何值時，M-N取得最小值？并求出這個最小值

 

Answer 1

【答案】

解：（1）

（2）f(x)在區(qū)間[m,n]上為增函數(shù) ；

（3）a=0，f(n)=1a=0     。

 

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用求解函數(shù)的極值和函數(shù)的最值，以及函數(shù)的單調(diào)性問題的綜合運用。

（1）因為為的兩根為m,n

所以由韋達定理得 m+n=-a,mn=-1，從而解得。

（2）運用導(dǎo)數(shù)的工具性作用，判定函數(shù)在給定區(qū)間的導(dǎo)數(shù)是否恒大于等于零得到。

（3）根據(jù)由（2）可知M=f(n),N=f(m)

 

 必有f(m)+f(n)=0，得到2mn(m+n)+2a=0 所以a=0。

解：（1）因為的兩根為m,n

所以由韋達定理得 m+n=-a,mn=-1              ……（1分）

因為m≤x≤n,所以

因此f(x)在區(qū)間[m,n]上為增函數(shù)                  ……（8分）

（3）由（2）可知M=f(n),N=f(m)

 ……（10分）

 必有f(m)+f(n)=0

又f(m)+f(n)=

 整理可得 2mn(m+n)+2a=0 所以a=0

又可驗證此時f(n)=1a=0       ……（14分）