Question

6．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{2-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1所表示的圖形是焦點在y軸上的雙曲線，命題q：方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根，又p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先根據(jù)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和一元二次方程無實根時△的取值即可求出命題p，q為真時的m的取值范圍，然后根據(jù)p∨q為真，p∧q為假得到p真q假，或p假q真兩種情況，求出每種情況的m的取值范圍再求并集即可．

解答 解：若p為真，則：$\left\{\begin{array}{l}{2-m＜0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$；
∴m＞2；
若命題q為真，則：△=16（m-2）²-16＜0；
∴1＜m＜3；
由p∨q為真，p∧q為假知p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1，或m≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$；
∴解得m≥3，或1＜m≤2；
∴m的取值范圍是（1，2]∪[3，+∞）．

點評 考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及一元二次方程無實根時△的取值情況，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系．