Question

在等邊三角形ABC中，AB=a，O為△ABC的中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，求

1

OM2

+

1

ON2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：如圖所示，建立直角坐標系．可得A(0，

3

2

a)，B(-

1

2

a，0)，C(

1

2

a，0)，O(0，

3 a

6

)．可得直線AB、AC的方程，設(shè)直線MN的斜率為k，則y=kx+

3

6

a．分別與直線AB、AC方程聯(lián)立可得點M，N的坐標，再利用兩點間的距離公式可得

1

OM2

+

1

ON2

關(guān)于k，a的表達式，利用斜率k的取值范圍和反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出最大值和最小值

解答：解：如圖所示，建立直角坐標系．
則A(0，

3

2

a)，B(-

1

2

a，0)，C(

1

2

a，0)，O(0，

3 a

6

)．
可得直線AB、AC的方程分別為

x

- 1 2 a

+

y

3 2 a

=1，

x

1 2 a

+

y

3 2 a

=1，
分別化為-x+

y

3

=

1

2

a，x+

y

3

=

1

2

a．
設(shè)直線MN的斜率為k，則y=kx+

3

6

a．(-

3

3

≤k≤

3

3

)．
聯(lián)立

-x+ y 3 = 1 2 a y=kx+ 3 a 6

與

x+ y 3 = 1 2 a y=kx+ 3 a 6

，
解得M(

a

3 k-3

，

a( 3 k-1)

2(k- 3 )

)，N(

a

3+ 3 k

，

a( 3 k+1)

2( 3 +k)

)．
∴|OM|²=(

a

3 k-3

)2+[

a( 3 k-1)

2(k- 3 )

-

3 a

6

]2=

a2(1+k2)

3(k- 3 )2

，
|ON|²=(

a

3+ 3 k

)2+[

a( 3 k+1)

2( 3 +k)

-

3 a

6

]2=

a2(1+k2)

3( 3 +k)2

．
∴

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=

a2(1+k2) 3(k- 3 )2 + a2(1+k2) 3( 3 +k)2

a2(1+k2) 3(k- 3 )2 • a2(1+k2) 3( 3 +k)2

=

6(3+k2)

a2(1+k2)

=

6

a2

(1+

2

1+k2

)，
∵-

3

3

≤k≤

3

3

，∴0≤k2≤

1

3

，∴

3

2

≤

2

1+k2

≤2．
∴

15

a2

≤

6

a2

(1+

2

1+k2

)≤

18

a2

．
∴

1

OM2

+

1

ON2

的最大值和最小值分別為

18

a2

，

15

a2

．
從圖形上看：當MN∥BC時取得最小值，當MN與AC邊上的中線重合時取得最大值．

點評：本題考查了正三角形的中心（重心）的性質(zhì)、直線相交于直線方程的問題、兩點間的距離公式、反比例函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．