【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為
,已知
,
(
).
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列滿足:
,
.
① 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
② 是否存在正整數(shù)n,使得成立?若存在,求出所有n的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為2.(2)
,
【解析】
(1)由題設(shè)的遞推關(guān)系式,得到(
),即可證得數(shù)列
為等比數(shù)列.
(2)① 由(1)知,,化簡得
,則數(shù)列
是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,即可求得
.
②利用乘公比錯位相減法,求得,進(jìn)而得到
,顯然當(dāng)
時,上式成立,設(shè)
,由
,所以數(shù)列
單調(diào)遞減,進(jìn)而得到結(jié)論.
(1)解:由,得
(
),
兩式相減,得,即
(
).
因?yàn)?/span>,由
,得
,所以
,
所以對任意
都成立,
所以數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為2.
(2)① 由(1)知,,
由,得
,
即,即
,
因?yàn)?/span>,所以數(shù)列
是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.
所以,
所以.
② 設(shè),
則,
所以,
兩式相減,
得
,
所以.
由,得
,即
.
顯然當(dāng)時,上式成立,
設(shè)(
),即
.
因?yàn)?/span>,
所以數(shù)列單調(diào)遞減,
所以只有唯一解
,
所以存在唯一正整數(shù),使得
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解高一新生對文理科的選擇,對1 000名高一新生發(fā)放文理科選擇調(diào)查表,統(tǒng)計知,有600名學(xué)生選擇理科,400名學(xué)生選擇文科.分別從選擇理科和文科的學(xué)生隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績得如下累計表:
分?jǐn)?shù)段 | 理科人數(shù) | 文科人數(shù) |
正 | 正 | |
正 | ||
(1)從統(tǒng)計表分析,比較選擇文理科學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分及學(xué)生選擇文理科的情況,并繪制理科數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖.
(2)根據(jù)你繪制的頻率分布直方圖,估計意向選擇理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)與平均分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把物體放在冷空氣中冷卻,如果物體原來的溫度是,空氣的溫度是
,則1min后物體的溫度
可由公式
求得,其中k是常數(shù),把溫度是
的物體放在15℃的空氣中冷卻,1 min后,物體的溫度是
.
(1)求出k的值;
(2)計算開始冷卻多久后,上述物體的溫度分別是;
(3)判斷上述物體最終能否冷卻到12℃,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在等比數(shù)列{an}中,=2,,
=128,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=2,且{
}為等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正四棱錐中,E,F分別為棱VA,VC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面ABCD;
(2)求證:平面VBD⊥平面BEF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知常數(shù)且
,在數(shù)列
中,首項(xiàng)
,
是其前
項(xiàng)和,且
,
.
(1)設(shè),
,證明數(shù)列
是等比數(shù)列,并求出
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),
,證明數(shù)列
是等差數(shù)列,并求出
的通項(xiàng)公式;
(3)若當(dāng)且僅當(dāng)時,數(shù)列
取到最小值,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:的焦點(diǎn)為F1(–1、0),
F2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B,連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連結(jié)DF1.已知DF1=
.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(I)若,函數(shù)
的極大值為
,求實(shí)數(shù)
的值;
(Ⅱ)若對任意的
在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
()若
是函數(shù)
的一個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的值.
()設(shè)
,當(dāng)
時,函數(shù)
的圖象恒不在直線
的上方,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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