Question

已知函數(shù)f(x)=

(2-m)x

x2+m

．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)(

1

2

，f(

1

2

))處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，求出曲線f（x）在點(diǎn)(

1

2

，f(

1

2

))處的切線的斜率，可得切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=

x

x2+1

．
因?yàn)?span id="p5dvms6" class="MathJye">f′(x)=

-x2+1

(x2+1)2

，所以k=f′(

1

2

)=

12

25

．
因?yàn)?span id="7er52x7" class="MathJye">f(

1

2

)=

2

5

，所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)(

1

2

，f(

1

2

))處的切線方程為12x-25y+4=0．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

(2-m)(x2+m)-(2-m)x•2x

(x2+m)2

=

(m-2)(x2-m)

(x2+m)2

（1）當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=

2

x

．
因?yàn)?span id="uubsp5s" class="MathJye">f′(x)=-

2

x2

，當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，x＜0，或x＞0．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），無單調(diào)增區(qū)間．
（2）當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)?span id="z0htl08" class="MathJye">{x|x≠±

-m

}．
當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，x＜-

-m

或-

-m

＜x＜

-m

或x＞

-m

，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-

-m

)，(-

-m

，

-m

)，(

-m

，+∞)，無單調(diào)增區(qū)間．
（3）當(dāng)m＞0時(shí)，f′(x)=

(m-2)(x+ m )(x- m )

(x2+m)2

．
①當(dāng)0＜m＜2時(shí)，
若f'（x）＜0，則x＜-

m

或x＞

m

，
若f'（x）＞0，則-

m

＜x＜

m

，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-

m

，

m

)．
②當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=0，為常數(shù)函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間．
③當(dāng)m＞2時(shí)，若f'（x）＜0，則-

m

＜x＜

m

，若f'（x）＞0，則x＜-

m

或x＞

m

，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-

m

，

m

)，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)．
綜上所述，當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），無單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-

-m

)，(-

-m

，

-m

)，(

-m

，+∞)，無單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)m＞0時(shí)，①當(dāng)0＜m＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-

m

，

m

)；
②當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=0，為常數(shù)函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間；
③當(dāng)m＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-

m

，

m

)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)…（13分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．