Question

8．已知f（x）=2ax³+x²+2x+a．
（1）當a=0時，求函數(shù)的零點；
（2）證明對所有實數(shù)a，函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上總有零點．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，f（x）=x²+2x，令f（x）=0，解得函數(shù)的零點；
（2）由f（-1）•f（1）=-3（a+1）²≤0，結合函數(shù)零點存在定理，可得結論．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=x²+2x，
令f（x）=0，則x=0，或x=-2，
即當a=0時，函數(shù)的零點為0，或-2，
證明：（2）∵f（x）=2ax³+x²+2x+a．
∴f（-1）=-a-1，f（1）=3a+3，
∴f（-1）•f（1）=-3（a+1）²≤0．
當a=-1時，f（x）=-2x³+x²+2x-1，
此時f（$-\frac{1}{2}$）=0，
當a≠-1時，f（-1）•f（1）＜0，
故函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上總有零點．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點，函數(shù)的零點存在定理，難度中檔．