已知a，b∈R+，函數(shù)f(x)=
ax+1+bx+1
ax+bx
(x∈R)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）比較
a2+b2
a+b
與
ab
的大小．
分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．（2）通過作差法判斷大�。�
解答：解：（1）函數(shù)f(x)=
ax+1+bx+1
ax+bx
(x∈R)遞增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x＜y，則x-y＜0，f(x)-f(y)=
(a-b)(ax-y-bx-y)ayby
(ax+bx)(ay+by)
，
①當(dāng)a=b時，f（x）為常數(shù)函數(shù)，此時不單調(diào)．
②若a＞b，則a-b＞0，ax-y＜bx-y，ax-y-bx-y＜0，所以f（x）＜f（y），
此時函數(shù)f(x)=
ax+1+bx+1
ax+bx
(x∈R)遞增函數(shù)．
③當(dāng)a＜b，則a-b＜0，ax-y＞bx-y，ax-y-bx-y＞0，所以f（x）＜f（y），
此時函數(shù)f(x)=
ax+1+bx+1
ax+bx
(x∈R)遞增函數(shù)．
（2）
a2+b2
a+b
-
ab
=
a2+b2-a
ab
-b
ab
a+b
=
a2+b2-a
3
2
b
1
2
-a
1
2
b
3
2
a+b
=
(a
3
2
-b
3
2
)(a
1
2
-b
1
2
)
a+b
，
因為冪函數(shù)x
3
2
，x
1
2
在（0，+∞）上單調(diào)遞增，具有相同的單調(diào)性．
所以當(dāng)a=b時，
a2+b2
a+b
=
ab
．
當(dāng)a≠b時，
a2+b2
a+b
＞
ab
．
點評：本題的考點是利用作差法比較兩個數(shù)的大小以及利用單調(diào)性的定義去判斷函數(shù)的單調(diào)性，作差法是比較大小中最常用的一種方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b∈R，向量
e1
=（x，1），
e2
=（-1，b-x），函數(shù)f（x）=a-
1
e1
e2
是偶函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）．當(dāng)x＜0時，f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）問：是否存在實數(shù)a，b（a≠b），使f（x）在x∈[a，b]時，函數(shù)值的集合為[
1
b
，
1
a
]？若存在，求出a，b；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年河北省高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

已知函f(x)=ax3+x2+bx(其中常數(shù)a，b∈R)，g（x）=f(x)+ f′\(x)是奇函數(shù)。

（1）求f(x)的表達(dá)式；

（2）試論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知a、b∈R，向量數(shù)學(xué)公式=（x，1），數(shù)學(xué)公式=（-1，b-x），函數(shù)f（x）=a-數(shù)學(xué)公式是偶函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文理合卷）（解析版） 題型：解答題

已知a、b∈R，向量=（x，1），=（-1，b-x），函數(shù)f（x）=a-是偶函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，求實數(shù)a的取值范圍．

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