Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）證明： 且.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）求導(dǎo)數(shù)后令可得，根據(jù)與的大小關(guān)系可得在區(qū)間上的符號(hào)，從而可確定函數(shù)的單調(diào)性．（2）分兩部分證明．（ⅰ）時(shí)，則，可證得，兩邊同乘以后可得；（ⅱ）令 ，利用導(dǎo)數(shù)可得，從而，故結(jié)論得證．

試題解析：

（1）解：∵，

∴．

令，得，

①當(dāng)，即時(shí)，

則，

在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時(shí)，

令，得；令，得.

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）證明:

先證．

當(dāng)時(shí)， ，

由（1）可得當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增．

∴，

，

.

再證．

設(shè) ，

則 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

設(shè) ，

則，

∴當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

令，得時(shí)， ， 單調(diào)遞減．

.

，

又此不等式中兩個(gè)等號(hào)的成立條件不同，故，

從而得證.

綜上可得且．