Question

【題目】拋物線的方程為，過拋物線上一點(diǎn)作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)（三點(diǎn)互不相同），且滿足：

（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求為鈍角時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍；

（3）設(shè)直線上一點(diǎn)，滿足，證明線段的中點(diǎn)在軸上；

Answer 1

【答案】（1）焦點(diǎn)，準(zhǔn)線；（2）或；（3）證明見解析；

【解析】

（1）數(shù)形結(jié)合，依據(jù)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）為鈍角時(shí)，必有,用表示，通過的范圍可得的范圍；

（3）先根據(jù)條件求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，證明，可得的中點(diǎn)在軸上.

解：（1）由拋物線的方程為可得，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線；

（2）由點(diǎn)在上，可得，所以拋物線為，

設(shè)直線的直線方程，直線的直線方程,

點(diǎn)與是方程組的解，將②式代入①式得，

，可得 ③，可得

點(diǎn)與是方程組的解，將⑤式代入⑤式得，

，可得 ，，

由已知得：，則 ⑥，

由③可得，代入，可得，

將代入⑥可得，代入，可得，

可得直線、分別與拋物線C得交點(diǎn)坐標(biāo)為，

,于是,,

,

因?yàn)?/span>為鈍角且三點(diǎn)互不相同，故必有，

可得得取值范圍是，或，

又點(diǎn)得縱坐標(biāo)滿足，當(dāng)，；

當(dāng)時(shí)，，

故的取值范圍：或；

（3）設(shè)點(diǎn)得坐標(biāo)為,由，則，

將③與⑥式代入可得：，即，即線段的中點(diǎn)在軸上.