Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為A，PA=AB，點(diǎn)M在棱PD上，PB∥平面ACM．
（1）試確定點(diǎn)M的位置；
（2）計(jì)算直線PB與平面MAC的距離；
（3）設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，當(dāng)點(diǎn)E在何處時(shí)，使得AE⊥平面PBD？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，則O這BD的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，在△PBD中，PB∥OM，由此能夠確定M的位置使PB∥平面ACM．
（2）設(shè)AB=1，則PA=AB=1，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，知CD⊥PD，AM=，AC=，MC=，故，利用等積法能夠求出直線PB與平面MAC的距離．
（3）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出當(dāng)點(diǎn)E為PC中點(diǎn)時(shí)，AE⊥平面PBD．
解答：解：（1）設(shè)AC∩BD=O，則O這BD的中點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，
∵在△PBD中，PB∥OM，
OM?平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
故當(dāng)點(diǎn)M為PD中點(diǎn)時(shí)，PB∥平面ACM．
（2）設(shè)AB=1，則PA=AB=1，
∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PD，∴AM=，AC=，MC=，
∴AM²+MC²=AC²，
∴，
取AD的中點(diǎn)F，連接AF，
則MF∥PA，MF⊥平面ABCD，且MF=，
∵PB∥平面ACM，M為PC的中點(diǎn)，
∴直線PB與平面MAC的距離為點(diǎn)D到平面MCA的距離，設(shè)為h，
∵V_M-ACD=V_D-ACM，
∴=，
解得h=．
（3）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
∴，=（0，1，-1），
設(shè)平面PBD的法向量=（x，y，z），則，，
∴，∴，
設(shè)，
則E（λ，λ，1-λ），
∵AE⊥平面PBD，
∴，∴，∴E為PC中點(diǎn)．
故當(dāng)點(diǎn)E為PC中點(diǎn)時(shí)，AE⊥平面PBD．
點(diǎn)評：本題考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定，考查直線到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等積法和向量法的合理運(yùn)用．