Question

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點(diǎn)，四點(diǎn)P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；
(2)證明：線段PC的中點(diǎn)為球O的球心

Answer 1

 (1)證明：∵AC＝BC，M為AB的中點(diǎn)，∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴PA⊥CM.
∵AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，
∴CM⊥平面PAB.
∵CM?平面PCM，
∴平面PAB⊥平面PCM.
(2)證明：由(1)知CM⊥平面PAB.
∵PM?平面PAB，
∴CM⊥PM.
∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC.如圖，，取PC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN.在Rt△PAC中，點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn)，
∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn)，
∴MN＝PN＝NC.
∴PN＝NC＝AN＝MN.
∴點(diǎn)N是球O的球心，即線段PC的中點(diǎn)為球O的球心．

略