Question

為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，新上了一項把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：

y= 1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為200元，若該項目不獲利，虧損數(shù)額國家將給予補償．
（I）當(dāng)x∈[200，300]時，判斷該項目能否獲利？如果虧損，則國家每月補償數(shù)額的范圍是多少？
（Ⅱ）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

分析：（I）確定當(dāng)x∈[200，300]時，該項目獲利函數(shù)，再利用配方法，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）確定二氧化碳的每噸的平均處理成本，分段求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）當(dāng)x∈[200，300]時，設(shè)該項目獲利為S，則S=200x-（

1

2

x2-200x+80000）=-

1

2

(x-400)2
∴當(dāng)x∈[200，300]時，S＜0
當(dāng)x=300時，S取最大值-5000；當(dāng)x=200時，S取最大值-20000
∴國家每月補償數(shù)額的范圍是[5000，20000]；
（Ⅱ）由題意可知，二氧化碳的每噸的平均處理成本為

y x = 1 3 x2-80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500)

①當(dāng)x∈[120，144）時，

y

x

=

1

3

(x-120)2+240，∴x=120時，

y

x

取得最小值240；
②當(dāng)x∈[144，500）時，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

x=

80000

x

，即x=400時，

y

x

取得最小值200，
∵200＜240
∴每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．

點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查求二次函數(shù)的最值，確定利潤函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．