Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足 a_n+log₃n=log₃b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和；
（3）若正數(shù)數(shù)列{c_n}滿足c_nⁿ⁺¹=

(n+1)an+1

2n

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}中的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)n≥2時(shí)，有a_n=S_n-S_n-1，求出a_n；
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出b_n，用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n ；
（3）確定lnc_n=

ln(n+1)

n+1

，構(gòu)造f（x）=

lnx

x

，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵S_n=n²-n，∴當(dāng)n=1時(shí)，有a₁=S₁=0
當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n=S_n-S_n-1=（n²-n）-（（n-1）²-（n-1））=2n-2
當(dāng)n=1時(shí)也滿足．
∴數(shù)列 {a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-2（n∈N^*）
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，得：b_n=n•3^2n-2（n∈N^*）
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n =1×3⁰+2×3²+3×3⁴+…+n3^2（n-1），
故9T_n =1×3²+2×3⁴+3×3⁶+…+（n-1）3^2（n-1）+n•3²ⁿ，
相減可得-8T_n =1+3²+3⁴+…+3^2（n-1）-n•3²ⁿ=

32n-1

8

-n•3²ⁿ，
∴T_n=

(3n-1)•32n+1

64

；
（3）由c_nⁿ⁺¹=

(n+1)an+1

2n

可得：c_nⁿ⁺¹=n+1，∴l(xiāng)nc_n=

ln(n+1)

n+1

令f（x）=

lnx

x

，則f'（x）=

1-lnx

x2

，
∴n≥2（n∈N^*）時(shí)，{lnc_n}是遞減數(shù)列，
又lnc₁＜lnc₂，
∴數(shù)列{c_n}中的最大值為c₂=3

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．