Question

函數f（x）是R上的偶函數，且當x＞0時，函數的解析式為f（x）=

2

x

-1
（1）求f（-1）的值；
（2）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數；
（3）求當x＜0時，函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用偶函數的性質可得，f（-1）=f（1），把x=1代入當x＞0時，函數的解析式求值．
（2）設a＞b＞0，化簡f（a）-f（b）到因式乘積的形式，判斷符號，根據增減函數的定義做出判斷．
（3）設x＜0，則-x＞0，利用x＞0時，函數的解析式，求出 f（-x）的解析式，再利用偶函數的定義求即得x＜0時的解析式．

解答：解：（1）f（-1）=f（1）=2-1=1．
（2）證明：設a＞b＞0，f（a）-f（b）=（

2

a

-1）-（

2

b

-1）=

2(b-a)

ab

，
由a＞b＞0知，

2(b-a)

ab

＜0，∴f（a）＜f（b），∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（3）設x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=

2

-x

-1=f（x），
∴f（x）=

2

-x

-1，即當x＜0時，函數的解析式為 f（x）=

2

-x

-1．

點評：本題考查利用函數的奇偶性求函數值，證明函數的單調性，以及求函數的解析式的方法．