Question

設f（x）是定義在（0，1）上的函數，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，則關于函數f（x）有

 

（填序號）
（1）對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）對任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）對任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）＜f（x₂）；
（4）對任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：觀察四個命題（1）（2）兩個不能同時成立，（3）（4）兩個不能同時成立，對于命題（1）（2）可采取令x₁=x，x₂=1-x，即可得到

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≥2結合已知條件②即可得到（2）是正確的；對于（3）（4）對條件

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2中的兩個變量x₁，x₂交換位置可得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2兩式相加即可得到結論．

解答： 解：由于命題（1）（2）兩個不能同時成立，（3）（4）兩個不能同時成立，
對于命題（1）（2），令x₁=x，x₂=1-x，結合①則有

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≥2，等號當

f(x)

f(1-x)

=

f(1-x)

f(x)

=1時成立
又由②知

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≤2，由此知

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

=2，
即

f(x)

f(1-x)

=

f(1-x)

f(x)

=1，即f（x）=f（1-x），故（2）對；
對于（3）（4），將②中的變量x₁，x₂交換位置可得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，
故有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤4，
等號當且僅當

f(x1)

f(x2)

=

f(x1)

f(x2)

=1，

f(1-x1)

f(1-x2)

=

f(1-x1)

f(1-x2)

=1時成立，
 又由①即基本不等式知

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥4等號當且僅當時成立
故有

f(x1)

f(x2)

=

f(x1)

f(x2)

=1，即對任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂），（4）正確
綜上知（2）（4）正確．
故答案為（2）（4）

點評：本題考點是抽象函數及其應用，解決本題的關鍵是構造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等號成立的條件找到命題正確判斷的依據，本題較抽象，要求解題者構造證明問題的意識要強．入手難，難度較大．