Question

已知函數(shù)f(x)=cosx-

3

sinx+1(x∈R)．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的最大值，并指出取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：先利用兩角和的余弦公式將函數(shù)f（x）化為y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)，
（I）利用余弦函數(shù)的有界性求得函數(shù)的最大值，再由余弦函數(shù)取最大值是自變量的值求得f（x）取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）將內(nèi)層函數(shù)置于外層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間上，通過解不等式即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cosx-

3

sinx+1=2(

1

2

cosx-

3

2

sinx)+1=2cos（x+

π

3

）+1
∴f（x）的最大值是3
此時(shí)x+

π

3

=2kπ，即x=2kπ-

π

3

   k∈z
（Ⅱ）∵余弦函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ-π，2kπ]（k∈R）
∴由2kπ-π≤x+

π

3

≤2kπ
得2kπ-

4π

3

≤x≤2kπ-

π

3

∴y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

4π

3

，2kπ-

π

3

]（k∈R）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角變換公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，整體代入的思想方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法