已知函數(shù)f(x)=
2x+1
2x-1

（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）討論f（x）的奇偶性并證明；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并證明．
（1）令分母2x-1≠0解得x≠0，故定義域為{x|x≠0}
函數(shù)的解析式可以變?yōu)?span mathtag="math" >f(x)=1+
2
2x-1
，由于2x-1＞-1，故
1
2x-1
＜-1或
1
2x-1
＞0
故
2
2x-1
＞0或
2
2x-1
＜-2，
∴f(x)=
2x+1
2x-1
的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函數(shù)是一個奇函數(shù)，證明如下
f(-x)=
2-x+1
2-x-1
=
2x+1
1-2x
= -
2x+1
2x-1
=-f(x)，故是一個奇函數(shù)．
（3）f（x）在（0，+∞）是一個減函數(shù)，證明如下
由于f(x)=1+
2
2x-1
，在（0，+∞）上，2x-1遞增且函數(shù)值大于0，
2
2x-1
在（0，+∞）上是減函數(shù)，故f(x)=1+
2
2x-1
在（0，+∞）上是減函數(shù)
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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