Question

【題目】△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為4，BC邊的中點(diǎn)為D，橢圓W以A，D為左、右兩焦點(diǎn)，且經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)D且x軸不垂直的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證：直線BM與CN的交點(diǎn)在一條定直線上．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知兩焦點(diǎn)為 與 ，可得c= ，2a=6，可得a=3，則b= ，

因此橢圓的方程為 ．

（2）證明：①當(dāng)MN不與x軸重合時(shí)，

設(shè)MN的方程為 ，且 ， ，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）

聯(lián)立橢圓與直線方程，可得 ，

消去x可得 ，

即 ，

則BM： ①CN： ②

②﹣①得 ，

，

，

，

．

則 ，即 ．

②當(dāng)MN與x軸重合時(shí)，即MN的方程x=0為，即M（3，0），N（﹣3，0）．

即BM： ①，

CN： ②

聯(lián)立①和②消去y可得 ．

綜上BM與CN的交點(diǎn)在直線 上．

【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義得出a，b，c的值，從而得到橢圓的方程，（2）對(duì)直線MN的斜率是否為零進(jìn)行分別討論，①當(dāng)斜率不為零時(shí)，設(shè)出直線MN的方程為x = m y + ，且 B ( ， 2 ) ， C ( ， 2 ) ，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用韋達(dá)定理表示出y1+y2， y 1 y 2，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出直線BM，直線CN的方程，聯(lián)立解出x=3，②當(dāng)斜率為零時(shí)，MN的直線方程為x=0，代入計(jì)算也可得x=3，綜上結(jié)論得證.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)．