Question

已知函數(shù)f（x）=lnx²-，（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，過點(diǎn)P（0，t）（t∈R）作曲線y=f（x）的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)為P1（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂），求證：x₁+x₂=0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出f（x）的定義域，求出f′（x），分三種情況a=0，a＞0，a＜0，由f′（x）＞0得到函數(shù)的增區(qū)間；由f′（x）＜0得到函數(shù)的減區(qū)間即可；
（Ⅱ）把a(bǔ)=1代入到導(dǎo)函數(shù)中得到f′（x），則兩條切線的斜率分別為和，又因?yàn)榍芯�過p（0，t），所以寫出兩條切線的方程，化簡(jiǎn)得到x₁²=x₂²．因?yàn)閤₁≠x₂所以得證．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
f′（x）=-=．
當(dāng)a=0時(shí)，由f′（x）=＞0，解得x＞0；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=＞0，解得0＜x＜；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=＞0，解得x＞0，或x＜．
所以當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）因?yàn)閒′（x）=-=，
所以以p₁（x₁，f（x₁））為切點(diǎn)的切線的斜率為；
以p₂（x₂，f（x₂））為切點(diǎn)的切線的斜率為．
又因?yàn)榍芯�過點(diǎn)p（0，t），
所以；．
解得，x₁²=e^t+2，x₂²=e^t+2．則x₁²=x₂²．
由已知x₁≠x₂
所以，x₁+x₂=0．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)曲線上某點(diǎn)的切線方程．