Question

對于函數(shù)，若存在區(qū)間，使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個“好區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：
①；②；③；④．
其中存在“好區(qū)間”的函數(shù)是     ．（填入所有滿足條件函數(shù)的序號）

Answer 1

②③④

試題分析：①函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，若函數(shù)在上存“好區(qū)間”則必有，即方程 有兩個根，令 
在上恒成立，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，則函數(shù)在上至多一個零點(diǎn)，即方程在上不可能有兩個解，又因為函數(shù)的值域為，所以當(dāng)或時，方程無解.所以函數(shù)沒有“好區(qū)間”；
②對于函數(shù)，該函數(shù)在上是增函數(shù)由冪函數(shù)的性質(zhì)我們易得，時， ，所以為函數(shù)的一個“好區(qū)間”.
③對于函數(shù)當(dāng)時，所以函數(shù)的增區(qū)間有和，減區(qū)間是，取，此時，所以函數(shù)在上的值域了是，則為函數(shù)的一個“好區(qū)間”；
④函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，若有“好區(qū)間”  則也就是函數(shù)有兩個零點(diǎn)，顯然是函數(shù)的一個零點(diǎn)，由
得，,函數(shù)在上為減函數(shù)；由，得，函數(shù)在上為增函數(shù).所以的最大值為，則該函數(shù) 在
上還有一個零點(diǎn).所以函數(shù)存在“好區(qū)間”.