如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°，設
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
．
（1）求AC1的長；
（2）求BD1與AC所成角的余弦值．
考點：異面直線及其所成的角,空間向量的夾角與距離求解公式
專題：空間角
分析：（1）由
AC1
=
a
+
b
+
c
，利用向量法能求出AC1的長．
（2）由
BD
=
b
+
c
-
a
，
AC
=
a
+
b
，cos＜
BD1
，
AC
＞=
(
b
+
c
-
a
)•(
a
+
b
)
|
BD1
|•|
AC
|
，能求出BD1與AC所成角的余弦值．
解答： （1）解：由已知得，
a
•
b
=
1
2
，
b
•
c
=
1
2
，
a
•
c
=
1
2
，
|
a
|=|
b
|=|
c
|=1，…（3分）
又
AC1
=
a
+
b
+
c
，
∴|
AC
|=
(
a
+
b
+
c
)2
=
1+1+1+1+1+1
=
6
．（6分）
（2）解：∵
BD
=
b
+
c
-
a
，
AC
=
a
+
b
．…（8分）
∴cos＜
BD1
，
AC
＞=
(
b
+
c
-
a
)•(
a
+
b
)
|
BD1
|•|
AC
|

=
1
2
+1+
1
2
+
1
2
-1-
1
2
2
•
3

=
6
6
． …（12分）
點評：本題考查線段長的求法，考查兩條異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展開式的二項式系數(shù)之和為32，且展開式中含x3項的系數(shù)為80．
（1）求m，n的值；
（2）求（1+mx）n（1-x）6展開式中含x2項的系數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是邊長是1的正方形，M，N分別是AB，PC的中點；
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：BC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（3，-4tanα），
b
=（4，5cosα）．
（1）若
a
∥
b
，求sinα的值；
（2）若
a
⊥
b
，且α∈（0，
π
2
），求cos（2α-
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（2sin
x
2
，1），
b
=（cos
x
2
-
3
sin
x
2
，1），f（x）=
a
•
b
+m．
（1）求f（x）在[0，2π]上的單調區(qū)間；
（2）當x∈[0，2π]時，f（x）的最小值為2，求f（x）≥2成立的x的取值集合；
（3）若存在實數(shù)a，b，c，使得a[f（x）-m]+b[f（x-c）-m]=1，對任意x∈R恒成立，求
b
acosC
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2
2
．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC．
（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若∠BDC=45°，求直線BM與平面ABC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a，E，F(xiàn)分別是A1B1和BB1的中點，求EF與AD1所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，點E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）當AD等于何值時，二面角P-DE-A的大小為30°．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=lg（ax-1）-lg（x-1）在（10，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍
 
．

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