Question

17．已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時(shí)滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=f（n）．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=（$\sqrt{3}$）${\;}^{{a}_{n}+5}$，c_n=$\frac{6{_{n}}^{2}+_{n+1}-_{n}}{_{n}_{n+1}}$，{c_n}前n項(xiàng)和為T_n，T_n＞n+m（n∈N^*，n≥2）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式的解集有一個(gè)元素，寫出判別式要滿足的條件，求出a的值，把所求的兩個(gè)數(shù)值代入解析式進(jìn)行檢驗(yàn)，看哪一個(gè)符合單調(diào)性，求出a的值；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n），寫出前n項(xiàng)和的表示式，根據(jù)由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)的方法寫出數(shù)列的通項(xiàng)，驗(yàn)證首項(xiàng)是否符合所求的通項(xiàng)，得到是一個(gè)分段形式；
（3）構(gòu)造出兩個(gè)新數(shù)列，要求數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和，把數(shù)列分成三部分來求，整理出最簡(jiǎn)形式，根據(jù)T_n-n＞m對(duì)（n∈N*，n≥2）恒成立可轉(zhuǎn)化為：m＜16+$\frac{1}{27}$+n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，對(duì)n∈N*，n≥2恒成立，根據(jù)16+$\frac{1}{27}$+n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$是關(guān)于n的增函數(shù)，得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素，
∴△=a²-4a=0⇒a=0或a=4，
當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
綜上，得a=4，f（x）=x²-4x+4；
（2）由（1）可知S_n=n²-4n+4，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=（n²-4n+4）-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．
（3）∵b_n=（$\sqrt{3}$）${\;}^{{a}_{n}+5}$=$\left\{\begin{array}{l}{27，n=1}\\{{3}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴b₁=27，c₁=18-$\frac{2}{27}$，
n≥2時(shí)，c_n=2+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
T_n=c₁+c₂+…+c_n=18-$\frac{2}{27}$+2（n-1）+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{27}$+$\frac{1}{27}$-$\frac{1}{81}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$）
=18-$\frac{2}{27}$+2（n-1）+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$=16+$\frac{1}{27}$+2n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
T_n-n＞m對(duì)（n∈N*，n≥2）恒成立
可轉(zhuǎn)化為：m＜16+$\frac{1}{27}$+n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，對(duì)n∈N*，n≥2恒成立，
因?yàn)?6+$\frac{1}{27}$+n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$是關(guān)于n的增函數(shù)，
所以當(dāng)n=2時(shí)，其取得最小值18，
所以m＜18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件構(gòu)造新數(shù)列，求新數(shù)列的和，這里利用數(shù)列的求和的基本方法即分組，注意本題中對(duì)于特殊項(xiàng)的驗(yàn)證．