Question

已知點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是圓C₁：（x-1）²+y²=4上的兩個動點，O是坐標原點，且滿足OA⊥OB，以線段AB為直徑作圓C₂．
（1）若點A的坐標為（3，0），求點B坐標；
（2）求圓心C₂的軌跡方程；
（3）求圓C₂的最大面積．

Answer 1

考點：軌跡方程,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據點A的坐標為（3，0），確定點B在y軸上，將x=0代入圓的方程，即可確定點B坐標；
（2）設圓心C₂的坐標，根據直角三角形斜邊中線是斜邊一半，建立關系|OC₂|=

1

2

|AB|，代入坐標可求出軌跡方程；
（3）根據圓C₂面積最大，即|AB|最大，可知|OC₂|最大時，圓C₂面積最大．求出圓心C₂的軌跡上到圓點的最大距離即可求出圓C₂的最大面積．

解答： 解：（1）∵點A的坐標為（3，0）在x軸上，且OA⊥OB，
∴點B在y軸上，
將x=0代入：（x-1）²+y²=4得，
y=±

3

．
∴點B坐標為（0，

3

）或（0，-

3

）．
（2）設圓心C₂的坐標為（x，y），
∵圓C₁：（x-1）²+y²=4，
∴圓心C₁（1，0），半徑r=2，
∵圓心到直線AB的距離為：d=

(x-1)2+y2

，
∴|AB|=2

r2-d2

=2

4-(x-1)2-y2

，
又∵△OAB是直角三角形，C₂是AB的中點，
∴|OC₂|=

1

2

|AB|，
∴

x2+y2

=

4-(x-1)2-y2

，
∴圓心C₂的軌跡方程(x-

1

2

)2+y2=

7

4

．
（3）由（2）可知，圓心C₂的軌跡方程是以(

1

2

，0)為圓心，

7

2

為半徑的圓，
∵圓C₂面積最大，即|AB|最大，
∴|OC₂|最大時，圓C₂面積最大．
∵|OC₂|_max=

1

2

+

7

2

，
∴Smax=π|OC2|2=

4+ 7

2

π．

點評：本題考查直線三角形的性質，圓的性質，圓的方程，坐標法求軌跡方程和最值問題處理等知識的綜合應用，屬于中檔題．