Question

（2013•內(nèi)江一模）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

an×an+1

}的前n項(xiàng)和，若T_n≤λa_n+1對?n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知得

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，解方程可求d，進(jìn)而可求通項(xiàng)
（2）由

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂項(xiàng)可求T_n，由T_n≤λa_n+1對?n∈N^*恒成立可知T_n最大值≤λ（n+2），可求

解答：解：（1）設(shè)公差為d．由已知得

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

解得d=1或d=0（舍去）  
 所以a₁=2，故a_n=n+1
（2）因?yàn)?span id="uthsbxh" class="MathJye">

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

所以Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

因?yàn)門_n≤λa_n+1對?n∈N^*恒成立
∴

n

2(n+2)

≤λ（n+2）對?n∈N^*恒成立
即

n

2(n+2)2

≤λ對?n∈N^*恒成立
又

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

16

所以λ=

1

16

點(diǎn)評：新課標(biāo)下對數(shù)列的考查要求降低，只對等差、等比數(shù)列通項(xiàng)和求和要求掌握．?dāng)?shù)列求和的方法具有很強(qiáng)的模型（錯(cuò)位相減型、裂項(xiàng)相消型、倒序相加型），建議熟練掌握，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值是常用的方法，需要注意．