Question

雙曲線C的中心在原點，右焦點為F(

2 3

3

，0)，漸近線方程為y=±

3

x．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點，若滿足

OA

•

OB

=0（O為坐標原點），求k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，根據(jù)右焦點為F(

2 3

3

，0)，漸近線方程為y=±

3

x，建立方程組，解出即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y可化為關(guān)于x的一元二次方程，可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系；由

OA

•

OB

=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入解出即可．

解答： 解：（1）由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，
∵右焦點為F(

2 3

3

，0)，漸近線方程為y=±

3

x，
∴

c= 2 3 3 b a = 3 c2=a2+b2

，
∴a=

3

3

，b=1，
∴雙曲線C的方程為3x²-y²=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+1 3x2-y2=1

，化為（3-k²）x²-2kx-2=0，（3-k²≠0）．
∵直線y=kx+1與雙曲線C相交于A，B兩點，∴△=4k²+8（3-k²）＞0，化為k²＜6．
∴x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=-

2

3-k2

．（*）
∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
把（*）代入上式得

-2(1+k2)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，
化為k²=1．滿足△＞0．
∴ak±1．

點評：本題中考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、考查直線與雙曲線相交問題等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力．