Question

數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

n2an+an2

an2+2an-n

+1，n∈N^*．
（Ⅰ）寫出a₂，a₃，a₄，猜想通項公式a_n，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想；
（Ⅱ）求證：

a 1a2

+

a2a3

+…+

ana n+1

＜

1

2

（a_n+1）²，n∈N^*．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用遞推公式能求出a₂=2，a₃=3，a₄=4，由此猜想a_n=n，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（Ⅱ）a_n=n，知證明

a 1a2

+

a2a3

+…+

ana n+1

＜

1

2

（a_n+1）²，n∈N^*．即證

1×2

+

2×3

+…+

n×(n+1)

＜

1

2

(n+1)2，由此利用均值定理能求出來．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

n2an+an2

an2+2an-n

+1，n∈N^*．
∴a₂=

1+1

1+2-1

+1=2，
a₃=

4×2+4

4+4-2

+1=3，
a₄=

9×3+9

9+6-3

+1=4，猜想a_n=n
證明：①當(dāng)n=1時，a₁=1，猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時猜想成立，即a_k=k
那么，ak+1=

k2•k+k2

k2+2k-k

+1=k+1，
∴當(dāng)n=k+1時猜想也成立
由①②可知猜想對任意n∈N^*都成立，即a_n=n
（Ⅱ）證明：∵a_n=n，
證明

a 1a2

+

a2a3

+…+

ana n+1

＜

1

2

（a_n+1）²，n∈N^*．
即證

1×2

+

2×3

+…+

n×(n+1)

＜

1

2

(n+1)2
由均值不等式知：

n×(n+1)

＜

n+n+1

2

=n+

1

2

，
則

1×2

+

2×3

+…+

n×(n+1)

＜(1+2+…+n)+

n

2

=

n(n+1)

2

+

n

2

=

n(n+2)

2

＜

1

2

(n+1)2．
∴

a 1a2

+

a2a3

+…+

ana n+1

＜

1

2

（a_n+1）²，n∈N^*．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．