【題目】如圖,平面平面四邊形為直角梯形, 四邊形為等腰梯形,

(Ⅰ)若梯形內(nèi)有一點,使得平面,求點的軌跡;

(Ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)

【解析】試題分析:(Ⅰ)取的中點,連接,則, ,可得平面平面,即可得出結(jié)論;(Ⅱ)由垂直關(guān)系可知:以為原點, 軸, 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出面的法向量,面的法向量,求出法向量的夾角可得結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)設(shè)的中點,連接

因為所以所以為平行四邊形,所以

平面所以平面

同時所以也為平行四邊形,所以

平面所以平面

因為所以平面平面

故當(dāng)位于線段上時, 平面從而點的軌跡為線段

(Ⅱ)由題意因為平面平面,平面平面

所以平面又可證所以平面

根據(jù)題意所以為正三角形,連接的中點并延長,以此線為軸,以為原點, 軸, 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,所以

設(shè)平面的一個法向量為

同理可得平面一個法向量為所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為

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