Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，且恒成立，求滿足條件的的最小值（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；

（2）在上恒成立，只需，注意到；

（3）在上有兩根，令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以且，，，求出的范圍即可.

（1）因為，所以，

當(dāng)時，，

所以切線方程為，即.

（2），.

因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，且恒成立，

即，

所以，即，又，

故，所以實數(shù)的取值范圍是.

（3）.

因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，

所以方程在上有兩不等實根，即.

令，則，由，得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，解得且.

又由，所以，

且當(dāng)和時，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，是極值點，

此時

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，所以.

因為恒成立，所以.

若，取，則，

所以.

令，則，.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

即存在使得，不合題意.

滿足條件的的最小值為-4.