Question

12．若實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3．

Answer 1

分析 根據(jù)所給x，y的范圍，可得|6-x-3y|=6-x-3y，再討論直線2x+y-2=0將圓x²+y²=1分成兩部分，分別去絕對(duì)值，運(yùn)用線性規(guī)劃的知識(shí)，平移即可得到最小值．

解答 解：由x²+y²≤1，可得6-x-3y＞0，即|6-x-3y|=6-x-3y，
如圖直線2x+y-2=0將圓x²+y²=1分成兩部分，
在直線的上方（含直線），即有2x+y-2≥0，即|2x+y-2|=2x+y-2，
此時(shí)|2x+y-2|+|6-x-3y|=（2x+y-2）+（6-x-3y）=x-2y+4，
利用線性規(guī)劃可得在A（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）處取得最小值3；
在直線的下方（含直線），即有2x+y-2≤0，
即|2x+y-2|=-（2x+y-2），
此時(shí)|2x+y-2|+|6-x-3y|=-（2x+y-2）+（6-x-3y）=8-3x-4y，
利用線性規(guī)劃可得在A（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）處取得最小值3．
綜上可得，當(dāng)x=$\frac{3}{5}$，y=$\frac{4}{5}$時(shí)，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查二元函數(shù)在可行域內(nèi)取得最值的方法，屬于中檔題．