Question

如圖，多面體ABCC₁A₁B₁中，四邊形AA₁C₁C是正方形，四邊形BCC₁B₁是直角梯形，CC₁⊥BC且BC∥B₁C₁．△ACB、△A₁C₁B₁都是等腰直角三角形，A、B₁分別為直角頂點，M是B₁B上的點，BM=2MB₁．
（1）證明CM⊥平面A₁B₁B；
（2）求二面角A-A₁M-B的余弦值；
（3）當(dāng)AA₁=1時，求多面體ABCC₁A₁B₁的體積．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明CM⊥平面A₁B₁B，只需證明CC₁⊥A₁B₁，A₁B₁⊥CM；
（2）建立坐標(biāo)系，求出平面MA₁A的法向量，平面A₁B₁B的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-A₁M-B的余弦值；
（3）利用分割法求多面體ABCC₁A₁B₁的體積．

解答： （1）證明：設(shè)CC₁=1，則B₁C₁=

2

2

，BC=

2

，∴B₁B=

6

6

，
∴B₁M=

6

6

，BM=

6

3

，
由余弦定理可得CM=

2 3

3

，
∴CM2+B1M2=B1C2，
∴CM⊥B₁B，
∵CC₁⊥平面A₁C₁B₁，
∴CC₁⊥A₁B₁，
∵A₁B₁⊥C₁B，
∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，
∵CM?BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥CM，
∴CM⊥平面A₁B₁B；
（2）解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=1，則A₁（0，0，1），B（1，0，0），B1(

1

2

，

1

2

，1)，C₁（0，1，1），

AM

=

AB1

+

1

3

B1B

，而

B1B

=(

1

2

，-

1

2

，-1)，
∴

AM

=(

2

3

，

1

3

，

2

3

)，

CM

=

AM

-

AC

=(

2

3

，

1

3

，

2

3

)-(0，1，0)=(

2

3

，-

2

3

，

2

3

)，
設(shè)平面MA₁A的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AM =0 n • A1A =0

⇒

2 3 x+ 1 3 y+ 2 3 z=0 2 3 z=0

，
取x=1，y=-2，z=0，則

n

=(1，-2，0)，
由（1），CM⊥平面A₁AB，而

CM

=(

2

3

，-

2

3

，

2

3

)，可取

m

=(1，-1，1)為平面A₁B₁B的一個法向量，
∴cosθ=

|CM • n|

| CM || n |

=

3

3 5

=

3 5

5

．                      …（8分）
（3）解：多面體體積為VC-A1B1B+VA1-ABC+VC-A1B1C1=

1

3

(

1

2

×

2

×

6

2

)×

2 3

3

+

1

3

(

1

2

×1×1×1)+

1

3

(

1

2

×

2

2

×

2

2

)×1
=

5

12

．                        …（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查二面角的平面角，考查多面體體積的計算，考查向量法的運用，掌握面面垂直的判定方法是關(guān)鍵．