Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$，a∈R
（1）當(dāng)a=2時(shí)，試比較f（x）與1的大��；
（2）求證：ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值推出結(jié)果．
（2）由（1）可得lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，令x=$\frac{n+1}{n}$，得到ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2n+1}$，分別取n=1，2，3，…，利用“累加求和”．即可證明．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$，其定義域?yàn)椋?，+∞），
令h（x）=f（x）-1=lnx+$\frac{2}{x+1}$-1，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）^{2}}$，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
①當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1，
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1，
③當(dāng)x=1時(shí)，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1，
（2）由（1）可得，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞1，
即lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1，
即lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，
令x=$\frac{n+1}{n}$，
則ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{\frac{n+1}{n}-1}{\frac{n+1}{n}+1}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴l(xiāng)n2＞$\frac{1}{3}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{5}$，
∴l(xiāng)n2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
問(wèn)題得以證明．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論證明不等式的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題